Per passare dalle equazioni cartesiane di una retta alle equazioni parametriche si deve assegnare a una delle incognite il ruolo di parametro libero, sostituirlo nelle due equazioni cartesiane ed esplicitare ciascuna equazione rispetto a una specifica incognita.
Dopo aver spiegato come ricavare la forma cartesiana di una retta in forma parametrica, in questa lezione ci occupiamo del passaggio inverso e mostriamocome ottenere la forma parametrica di una retta dalla rappresentazione cartesiana.
Il procedimento è piuttosto meccanico e relativamente semplice, ma occorre prestare attenzione a qualche caso particolare che spesso induce in errori gli studenti meno esperti. Non perdiamoci in ulteriori chiacchiere e passiamo dalle parole ai fatti riportando dapprima il metodo generale, per poi proporre alcuni esempi svolti.
Passaggio dalle equazioni cartesiane alle equazioni parametriche di una retta
In un sistema di riferimento cartesiano affine o ortonormalele equazioni cartesiane di una retta 
sono due equazioni di un sistema lineare che rappresentano due piani non parallelidello spazio
Il nostro scopo è determinare le equazioni parametriche della retta , ossia passare dalla rappresentazione cartesiana a una della forma
dove sono le coordinate cartesiane di un punto della retta, e sono le componenti di un vettore parallelo a rispetto alla base che definisce il sistema di riferimento.
Detto ciò, per passare dalla forma cartesiana a quella parametrica della retta riducendo al minimo la possibilità d'errore, vi consigliamo seguire i passaggi del seguente schemino, dove abbiamo distinto tre possibili casi.
Caso 1) Se nessuna delle equazioni cartesiane è della forma
procediamo nel modo seguente:
1a) scegliamo una qualsiasi delle incognite (tra ) e attribuiamole il ruolo di parametro, ponendola uguale a . Per fissare le idee, supponiamo di porre .
1b)Costruiamo il sistema
1c) Sostituiamo nelle altre due equazioni.
1d) Esplicitiamo la seconda equazione in favore di o di , e sostituiamo la relativa espressione nella terza.
1e) Arrivati a questo punto, se la terza equazione contiene una sola incognita, basta esprimerla in termini di e sostituire la relativa espressione nella seconda equazione.
Se invece nella terza equazione rimane solo il parametro allora dobbiamo ripetere l'intero procedimento, assegnando a un'altra incognita il ruolo di parametro libero.
Caso 2) Se solo una delle due equazioni cartesiane di è della forma
si deve assegnare il ruolo di parametro a una delle variabili che non è uguale uguale alla costante, per poi procedere come fatto in precedenza.
Caso 3) Infine, se entrambe le equazioni cartesiane che definiscono sono del tipo
si deve attribuire necessariamente il ruolo di parametro libero all'incognita che non compare nelle due equazioni cartesiane. Il sistema ottenuto aggiungendo l'equazione di attribuzione del parametro fornisce la rappresentazione parametrica della retta.
Esempi sul passaggio dalle equazioni cartesiane alle parametriche di una retta
Vediamo qualche esempio sul passaggio dalla rappresentazione cartesiana a quella parametrica di una retta nello spazio.Se avete le idee un po' confuse, non preoccupatevene: dagli esempi noterete che il procedimento è più semplice a farsi che a dirsi.
Esempio 1
Esprimere in forma parametrica la retta
Svolgimento: assegniamo a il ruolo di parametro libero, dunque poniamo
e consideriamo il sistema
Sostituiamo nelle ultime due equazioni
A questo punto scegliamo la seconda equazione ed esplicitiamola in funzione di
Sostituiamo nella terza e svolgiamo i conti
Sostituendo 
nella seconda equazione si ricava una rappresentazione parametrica della retta
Perverificare la correttezza del risultato, qui e in generale, è sufficiente sostituire le coordinate parametriche nelle equazioni cartesiane: se giungiamo a due equazioni indeterminate allora il risultato è corretto; diversamente... Dobbiamo rivedere i calcoli.
Per quanto concerne l'esempio riscriviamo le equazioni cartesiane
e procediamo con le sostituzioni
Ciò che ne scaturisce è
ossia
il che conferma la correttezza dei calcoli svolti.
Esempio 2
Determinare le equazioni parametriche della retta
Svolgimento: la prima equazione è della forma
dunque la scelta dell'incognita da porre uguale al parametro libero può essere effettuata tra e .
Scegliamo di porre
e costruiamo il sistema
Nella terza equazione sostituiamo
per poi esplicitarla in funzione di
Finito!
Esempio 3
Trovare la forma parametrica della retta
Svolgimento: in questo caso la scelta è obbligata: bisogna necessariamente imporre
Il sistema
descrive la retta in forma parametrica.
Per il momento ci fermiamo qui, ma il discorso sulle rette continua nella prossima lezione, dove parleremo della direzione di una retta dello spazio.
Dubbi? Problemi? Siete in cerca di esercizi? Su YouMath ne abbiamo risolti a migliaia... A questo proposito vi consigliamo di leggere la scheda correlata di esercizi svolti, e all'occorrenza di usare la barra di ricerca interna. ;)
Buon proseguimento su YouMath!
Giuseppe Carichino (Galois)
..........
Tags: passaggio dalle equazioni cartesiane alle parametriche nel caso della retta - come ricavare la rappresentazione parametrica dalla forma cartesiana di una retta nello spazio.
Ultima modifica:
